息子の出題。 解答は主に息子が言ってたものを記録したものだが、記録が正確である保証はない。 問1 位相空間 、 と連続写像 があったとする。 このとき、 の開集合 に対し、 と定義すると、これは層になっていることを示せ。 答： 前層であることはわかる。…

元ネタ：代数曲線入門第6章 梶原健 命題 体でない整域 に対して次の(1)〜(3)は同値： (1) はネーター局所環で、極大イデアルは単項。 (2) ある規約元 によって任意の元 が の形に一意的に書かれる。 (3) は局所環かつPID。 定義 離散付値 整域 が上の命題の…

直行多幸式。 元ネタ：特殊関数 第2章 犬井鉄郎 有限区間の一般論 に対し、 とおくと、これは n 次多項式になる。 任意の n - 1 次多項式 に対し、 となる。したがって、特に、 である。（左辺を真ん中の式で定義した。） のときは となるが、これは の規格…

いきなり、どうした？みたいな。 量子力学を復習してちょっとそんな気持ちになった。 元ネタ：特殊関数 第1章 犬井鉄郎 定義 ガンマ関数 部分積分をすると 特に、 。 Gaussの公式 Weierstrassの公式 ただし、 。 これから、 に極を持つことがわかる。 定義 …

元ネタ：代数曲線入門第1章 梶原健 代数の知識が微妙で、いろいろもやもやすることが多い。 だから、教科書（アティマク？）をちゃんと通読しよう とも思うのだが、それはそれで大事（オオゴト）だ。 で、なんとなく買った上記の本の第1章は、私がもやもやし…

命題 すべての に極限があるなら、 関手 が考えられる。 （コメント） 私の日本語は奥歯にものがはさまったような言い方である。 原文は「a functor」とあり、補足説明に 「a limit」を「the limit」にするためには なんらかの選択が必要である、とある。 元…

、 、 、 、 、 、 、 、 、 は完備かつ余完備である。 命題 は完備かつ余完備である。 （証明） 完備性はすでにみた。 余完備性は、余積とコイコライザの存在から言える。 の余積は直和、コイコライザは は から生成される同値関係で を割ったもので、 すな…

特に言わない限り、扱う圏はローカルに小さいとする。 定理 （証明的な何か） リール先生の証明は「考えればわかるよね」的で、たぶんこの感覚をつかむことが 重要なんだろうと思う。 が、別の言葉で言えないかとも思った。ここまでの結果を使えば、 最期の…

定義 極限の保存・反映・創出 、 があるとする。 ・ は極限を保存する。 が極限錘を持つなら、それを でうつしたものも極限錘になる。 ・ は極限を反映する。 の錘を でうつしたものが極限錘なら、もとの錘も極限錘である。 ・ は極限を創出する。 が極限錘…

定義 完備・余完備 すべての小さい図式が極限を持つときその圏は完備という。 すべての小さい図式が余極限を持つときその圏は余完備という。 ちなみに、complete、cocompleteである。 余もcoも発音が楽しい。 命題（教科書では定義） では である。 （ は元…

予想を遥かに上回る遅さで進んでいる。 やっと、極限、余極限。 定義 に対し を 「 のすべての対象を に、すべての射を にうつす関手」と考える。 （例によって、記号の濫用だと思うが、数学っぽくてかっこいい。 そしてそれを理解できる自分はすごいなと思…

定義 要素圏 に対し、要素圏 を次のように定義する。 (1) 対象は ただし 、 。 (2) 射 は 、 となる 。 反変関手に対しては、 に対し、要素圏 を次のように定義する。 (1) 対象は ただし 、 。 (2) 射 は 、 となる 。 一般に を決めれば、当然 となる も決…

補題（p62の系） の終対象のみで張られる充満な部分圏は、空であるか可縮な亜群である。 特に2つの終対象はユニークに同型である。 可縮な亜群とは、「対象が1つしかない圏に同値な圏」であり、あるいは、 「すべてのhom集合がただ1つしか元を持たない圏」の…

定義 ローカルに小さい圏 対象間の射の集合が小さいとき、その圏はローカルに小さいという。 （あるいは、「局所的に小さい」とか「局所小」とか？ マックレーン（日本語版）には「小さいhom集合を持つ圏」とある。まんまである。） 定義 表現 ローカルに小…

圏論では「本当に同じ」以外に、「同型」「同値」の概念が重要となる。 ちなみに、isomorphismは名詞、isomorphicは形容詞だが、 日本語ではしばしば両方とも「同型」と訳される。 補題 関手は同型を保存する。 関手は、モノやエピを保存しないが、分裂モノ…

圏論ではなるべく集合的な考え方（元を1つずつ見るような考え方）から離脱すべきだろう。 しかし、hom 集合は重要な役割を果たしているような気がする。 よって、hom 集合（や集合一般）の扱い方に習熟しておいてもよいような気がする。 補題 以下の3つは同…

ハーツホーンに を の前層とし、 を 上の点とする。 の における茎 を を含むすべての開集合 に対する 群 と制限写像 がなす順系に関する順極限と定義する。 とある。 よくわからないので、考えた（調べた）。 順極限とは余極限のことらしい。 前層は である…

元ネタ：Homotopy theories and model categories W.G.Dwyer and J.Spalinski問題 問28 左導来関手の定義を述べよ。 答28 問29 右導来関手の定義を述べよ。 答29 問30 以下を示せ。 が自明なコファイブレーションを同型にうつす関手とする。 このとき、 。 …

元ネタ：Homotopy theories and model categories W.G.Dwyer and J.Spalinski問題 問18 前々問、前問より以下の関手が定義されることを示せ。 (1) (2) （ は の射を右ホモトピーでまとめた圏。 は の射を左ホモトピーでまとめた圏。） 答18 問19 以下を示せ…

Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski より。 問題 問13 以下を証明せよ。 とする。 (1) がコファイブラントのとき、 。 (2) がファイブラントのとき、 。 答13 問14 で と がコファイブラントかつファイブラントなら、 以下…

Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski より。問題 問7 左ホモトピー、右ホモトピーの定義を述べよ。 答7 問8 以下を証明せよ。 (1) のとき、からへの良い左ホモトピーがある。 さらにがファイブラントなら、とても良い左ホモ…

Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski より。 問題 問1 モデル圏の定義を述べよ。（Dwyer Spalinski方式） ヒント：MC1〜MC5 答1 問2 以下を証明せよ。 モデル圏において (1)自明なファイブレーションに対してLLPを持つ射は…

定理 が余極限を持つとき、そのときに限り、 は関手 に沿った左カン拡張を持つ。 このとき、 （ は の唯一の対象のつもり）である。 双対的に、極限が右カン拡張になる。 定理 が左随伴を持つとき、そのときに限り、 右カン拡張 が存在し、 によって保存され…

コンマ圏 の対象は のようなもので、これを [tex:] と書く。 ここで、2つの関手を定義する。（射影関手？） [tex:P^c\hspace{3}=\hspace{3}m] [tex:Q^c\hspace{3}=\hspace{3}f] すると、 は錘と考えることができる。 定義 が稠密とは、各 について が成り立…

次のような右カン拡張があったとする。 ただし、 。 ここで、 が余単位元 を持った右カン拡張なら、 「 は右カン拡張を保存する」という。 これは も意味する。 定理 が左随伴 を持つとき、 は 上のすべての右カン拡張を保存する。 （証明） ここで、 を右に…

定理 があるとする。 に対し、 [tex:Q\hspace{3}:\hspace{3}(c\hspace{3}\downarrow K)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M\hspace{30}(\hspace{3}\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}m\hspace{3})] を考える。ここで が のように極限を持ち、その極限錐が …

補題 が恒等関手上の錘であり、 があって、 が極限錘となっているなら、 は の始対象。 （証明） であるが、これを関手 と考え、 という構造を考えている。 は錘だから、下図が可換。 （ からすべての対象 への射 が他の射と可換になるようにある。という点…

命題 に対し それぞれがエンド [tex:]、[tex:] を持つとし、また、 自然変換 があったとする。 すると、に一意的な射 が存在して下図が可換になる。 定理 が 各対象 についてエンド を持つとする。 このとき、 を対象関数とる関手 が存在して、 は において…

定義 エンド 関手 に対し、ある定数 から への 普遍的な対角自然変換をエンドという。 ここで、 から へのくさび（）があった場合、 一意的に が存在して、 を満たす。 自体もエンドとよばれ、 と書かれる。 例 に対し、 が定義される。 ここで、 に対し、 …

定義 対角自然変換 に対し、 に射 を割り当てる関数 で次の図を 可換にするものを対角自然変換という。 対角自然変換は と書く。 例 ・双関手の自然変換 に対し、 とする。 ・2つの1変数関手から「1つの変数がダミーのもの」をつくることができる。 に対し、…